ブックメーカーはどのようにオッズを決めるのか？
ブックメーカーは一体どのようにオッズを決定しているのか？というお話を Freakonomics （ヤバい経済学）でお馴染みの Steven Levitt が考察しているので紹介したいと思います。売春やらドラッグやらをヤバいものを好んで（？）取り扱う Levitt 先生ですから、もちろんギャンブルという分野を見逃すわけもなく、 Sports betting についても鋭い分析を展開しています。飲む打つ買うの三拍子。
WHY ARE GAMBLING MARKETS ORGANISED SO DIFFERENTLY FROM FINANCIAL MARKETS? (PDF)
ちなみに賭博市場や予測市場に関しては Freakonomics Blog に記事を書いている一人である Justin Wolfers もすごいです。なんと、この人の学校の授業では生徒に Sports betting で儲けることができるか競わせたりする。シラバスを見ただけでワクワクするこの授業、ぜひ一度聴講してみたいものです。
マッチングか？確率か？
ブックメーカーがオッズを決めるには以下の2通りの方法があります。
1. マッチング方式
「半丁、駒を揃える」という、賭博の歴史において伝統的な方法です。売りと買いをマッチングさせるわけです。胴元はいわゆる”寺銭”と呼ばれる手数料を徴収しますから、賭博対象の結果いかんにかかわらず安定して手数料収益を得ることができます。ただしブックメーカーは先にオッズを提示するので、参加者の選好を十分に把握している必要があります。もし、この参加者選好の把握が不十分であると思うように張りゴマが一致せず、ブックメーカーは再度オッズを変更したり、時には揃わない部分を自身で肩代わりする（賭けに参加している）状態となります。
日本の競馬などで使用される pool や perimutuel と呼ばれる方法も同様にマッチング方式といえますが、オッズはベッティングを締め切った後、張りゴマを一致させるように事後的に決定されます。よって、確実に全てのベットをマッチングさせることができ、胴元が損をする可能性はゼロです。参加者の立場から見ると、オッズを見てベットできるのは最後の参加者のみ、その他ほとんどの参加者はオッズが分からない状態でベットすることになります。
2. 確率方式
賭博対象の確率の逆数をそのままオッズとする方法です。この場合、両サイドの張りゴマは必ずしも合いません。ルーレットで言えば、お客さん全員が赤にベットしているような状況もありえます。合わない部分はブックメーカー自身が賭けをしていることになります。しかし、仮に算出された確率が正しいとすればブッキー自身は手数料を取られないため期待値はゼロ、つまり短期的には賭けに参加してリスクを取っているように見えても長期的には大数の法則がそのリスクを吸収してくれるわけです。この方式には、確率から手数料分を割り引いたオッズを提示することで手数料を参加者の目から隠せる、というメリットがあります。確率が既知のカジノゲームはこちらの手法が主流ですね。
しかしながら、ブックメーカーはスポーツの試合の結果の正しい確率などどう算出するのでしょう？八百長でも仕込まない限り、100%正しい結果を知りうるのは不可能です。実は必ずしも100%正しい確率を必要としていません。なぜならば、100%正しくなくとも、参加者より正しい精度を持つ確率ならばそれで正のリターンを上げることができるからです。逆もまた真ですが。
では、ブックメーカーは一体どちらの方法でオッズを決めているのでしょうか？参加者の選好にバイアスがなくブッキーと同等の精度で将来予測するならば、マッチング方式と確率方式のどちらも同じオッズとなり、ブックメーカーの利益も同じとなります。しかし、もし参加者の選好にバイアスがあるとするならば、ブックメーカーはマッチング方式と確率方式の間にある利益を最大化する最適なオッズを選択することで、そのバイアスを exploit することができます。
ブックメーカーは将来予測が一番上手
果たして、Levitt 先生の実証の結果、参加者の選好にはバイアスがあり、ブックメーカーはこれを利用することにより単純にマッチング方式オッズで得ることができる収益より2割増しの利益を得ていることが分かります。
しかもブックメーカーのしたたかさはそれだけに留まりません。マッチング方式ではないということは、同時に、ブックメーカーより上手に将来予測をすることができれば賭博市場で彼らを出し抜くことができる、ということでもあります。そういった彼らの存在を考慮して、ブックメーカーは利益を深追いせず確率方式に偏らないよう制限する、若しくは彼らを雇ってしまう、と Levitt 先生は結論付けています。かくしてブックメーカーは最高最強の将来予測ができる主体となるわけですね。
と、大変面白いペーパーで手法も勉強になりました。同様の分析を参加者同士が売り買いでオッズを決定している betting exchange のデータで行ったらどうなるのか気になるところです。（当時はまだ betting exchange がそれほど盛んでなかった。）今年はシコシコとデータを収集しているので、それを使った検証結果がどうなるか楽しみです。
オッズからみる日本のGL勝敗予想
南アフリカワールドカップの組み合わせが決まりましたね。２ちゃんねる見てたらこんなのあって見入ってしまいました。
【サッカー/W杯】日本のGL勝敗予想…セルジオ越後氏「0勝0分3敗」 中西哲生氏「0勝1分2敗」 岩本輝雄氏「0勝2分1敗」★2
http://yutori7.2ch.net/test/read.cgi/mnewsplus/1260218836/
2010年南アW杯 サッカー解説者達による日本のGL勝敗予想1／3
http://www.youtube.com/watch?v=BvbklV-5ZwQ
皆さん、専門家だけあってそれぞれが興味深い意見です。んで、スポーツベットのオッズはどう評価しているのか気になったのでちょいと計算してみました。
オッズと確率
ギャンブルにおけるオッズとは確率の裏返しです。1/2の確率で起きる事象を賭けの対象にした場合、オッズは2倍となります。逆にオッズが3倍ならば、起き得る確率は1/3ということになります。（実際には運営側の経費+利益が組み込まれて、1/2の確率に対して1.95倍というように確率に対してやや不利なオッズとなるのが通常です。）つまり、オッズが分かれば確率も分かり、賭博市場がどのように勝敗予想をしているのかも分かるというわけです。
ちなみに数々のブックメーカーがそれぞれにオッズを出しますが、異なるオッズは裁定機会となるためいずれひとつに収束します。長年の経験を有すbookiesのみならず、近年ではbetting exchange市場の発展もあり、インサイダー情報も含めあらゆる角度からの情報が織り込まれます。最近賭博市場での利益を目的とした大掛かりな八百長が発覚しましたが、これは市場がかなりストロングであるという証左ですね。
現在のオッズからみる勝敗予想
そうは言っても半年後の試合です。どの国も代表メンバーすら確定していない状況ですからオッズはまだ固まっていません。しかしそう言っては始まらないので、現在のオッズを元に日本のグループリーグでの戦績を市場がどのように予測しているのか見てみましょう。2009年12月8日現在、グループリーグにおける日本の3試合それぞれのオッズは以下の通りです。
| home | draw | away | bpp | |
|---|---|---|---|---|
| Japan v Cameroon (15:00 GMT) | 3.75 | 3.35 | 2.24 | 101.16 % |
| Netherlands v Japan (15:00 GMT) | 1.61 | 3.6 | 6 | 106.35 % |
| Denmark v Japan (19:30 GMT) | 2.1 | 3.25 | 4 | 103.39 % |
各試合は「home v away」という形で表記されています。日本はカメルン戦ではホーム、他2戦ではアウェイとなります。
一番右のパーセンテージはざっくりと言えば胴元の利益からくるオッズの歪みです。100%より上の部分が利益となります。逆に100%より小さな場合にはプレイヤーが必ず儲かる裁定機会が発生している状況となります。最終的には100%〜101%程度に落ち着きますので、まだオッズが安定していないことが分かります。
で、オッズの裏にある確率が以下。
| 日本 | 勝 | 分 | 負 |
|---|---|---|---|
| 対カメルーン | 27.58% | 29.50% | 42.92% |
| 対オランダ | 15.93% | 27.52% | 56.54% |
| 対デンマーク | 24.61% | 30.00% | 45.40% |
で、勝敗予想を場合分けしてみると以下のようになります。
| 勝 | 分 | 負 | pt | prob. |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 0 | 0 | 9 | 1.08% |
| 2 | 1 | 0 | 7 | 4.34% |
| 2 | 0 | 1 | 6 | 7.52% |
| 1 | 2 | 0 | 5 | 5.69% |
| 1 | 1 | 1 | 4 | 19.32% |
| 1 | 0 | 2 | 3 | 16.16% |
| 0 | 3 | 0 | 3 | 2.44% |
| 0 | 2 | 1 | 2 | 12.23% |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 20.21% |
| 0 | 0 | 3 | 0 | 11.02% |
2勝以上 12.94%
1勝 41.16%
0勝 45.90%
（0勝3敗 11.02%）
勝ち点5以上 18.63%
勝ち点4以上 37.95%
どうです？直感よりはマシな数字だと思いませんか？
1勝もできない確率が約46%と厳しい状況ですが、逆に言えば1勝以上の確率は約54%ということになります。世界の賭博市場では日本は1勝もできない確率より最低1勝はできる確率の方が高いと判断しているわけです。難しいと考えられているノックアウトステージ進出ですが、ボーダーとなりそうな勝ち点4〜5あたりの数字は意外に大きいです。20%なんて5回に1回ですよ。諦めるのは早すぎます。
また、
2勝以上 12.94% > 0勝3敗 11.02%
というのは興味深いですね。２ちゃんねるのスレッドを覗くと「日本は確実に3敗」的な意見は少なからずあるのですが、「確実に2勝以上」という意見は滅多に見ません。*1（あった場合には「これだからニワカは」と叩かれること必至かと。）が、命の次に大事なお金を賭けて意見を表明する賭博市場では2勝以上の方が3敗よりあり得るという判断を下しているんですね。
これは完全なる正解ではない
しかしながら市場は市場です。常に動いており、裁定機会はあれど、正解はありません。特にナショナリズムを煽りがちとなる国際大会では損得関係無しに自国に賭けるということも珍しくありません。例えば、日本vカメルーンの場合、同じ応援ベットでも日本円のパワーが勝る現状ではオッズを確率から歪めてしまうこともあります。まあ、そういう部分がおいしいんですけどね。
何にせよ、自分の予測に自信をお持ちの方は市場に参加すべきだと思いますよ。それが市場の予測精度を高めることになるんだし。
*1:両極端のレーティングしかできないという要因もあるのかもしれない。
http://jp.techcrunch.com/archives/20090922youtube-comes-to-a-5-star-realization-its-ratings-are-useless/
スポーツベッティングとBetting exchange
今シーズンのサッカー、特にイングランドプレミアリーグを舞台に、スポーツベッティング、そしてbetting exchangeを考察してみようと思っています。
スポーツベッティングとは
スポーツベッティングとは、スポーツの試合の結果を予測して金銭を賭けることギャンブルのことです。ストレートにスポーツ賭博と言った方が分かりやすいかもしれません。日本においては一番メジャーなスポーツベッティングはなんといっても競馬でしょう。ギャンブル、賭博というイメージに覆われていますが、競馬はスポーツのひとつであり、あくまでそれに付随してギャンブルを行っている訳です。他に競輪や競艇など、いわゆる公営ギャンブルにはスポーツベッティングが多いですね。また、違法ながらも野球、相撲なども一部の人には人気のある対象となっているようです。
一般にギャンブルは中毒になればなるほど、「ゲームは単純なものでよろしい」と、丁半賭博などが好む傾向にあるようです。課程がまどろっこしくなってくるんでしょうね。実は、こういった単純賭博の結果は簡単に計算できます。1回や2回のゲームの結果は分かりませんが、1000回2000回とゲームを続ければ結果は計算したとおりの範囲に収まってきます。中毒になっている人にはそれが見えず破滅してしまうんでしょうね。怖い。
他方、スポーツベッティングは異なります。結果は誰にも分かりません。（もちろん、八百長などがあれば話は別ですけど。）基本的に誰もが結果を知りえない賭博、それがスポーツベッティングなのです。
Betting exchangeとは
日本語ならば「賭博市場」でしょうか、あまりなじみのない言葉かもしれません。このexchangeはNYSEのexchangeと同じで取引所を意味します。つまり、betting（＝賭け）を取り扱うexchange（＝取引所）です。賭け自体をあたかも証券を取引するかのように売り買いすることができます。取り扱う賭けの対象はさまざま、明日の天気から選挙の結果まで何でもアリですが、やはりスポーツの試合が最も人気あります。
実際の金銭を賭けるexchangeだけでなく、仮想のポイントを取引するexchangeもあります。これは「予測市場」という形で日本にもいくつかあります。はてなも2005年の衆院選に選挙結果を証券に見立てて取引所を開設しましたよね。今年の衆院選でやらなかったのが残念です。
shuugi.in - 衆議院選挙総合情報サイト
http://shuugi.in/
Sports Betting Japan | スポーツベッティングジャパン
http://www.asiabet.co.uk/
総合予測市場サイト Prediction.jp
http://prediction.jp/
元来、スポーツベッティングはブッキーと呼ばれる胴元がオッズを経験に基づく芸術的なオッズを出していたのですが、近年ではこのように「市場」がオッズを決めています。（ブッキーとマーケットに差があれば裁定取引されてしまう。）
スポーツベッティングで勝つことは出来るのか？
Betting exchangeにおいてスポーツベッティングを行うことは、証券市場で証券を取引するのこととなんら変わりがありません。当然そこにはパリティや理論価格が存在するだろうし、実際に多くの裁定機会があります。果たしてスポーツベッティグ市場で収益を上げることはできるのでしょうか？ここでいろいろと考察してみようかと思います。
